Βασικές έννοιες

Σύνολα αριθμών

Στον Λογισμό Ι δουλεύουμε κυρίως στο σύνολο των πραγματικών αριθμών $\mathbb{R}$. Η ιεραρχία των συνόλων είναι:

• $\mathbb{N}$ — φυσικοί αριθμοί: $1, 2, 3, \dots$
• $\mathbb{Z}$ — ακέραιοι: $\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots$
• $\mathbb{Q}$ — ρητοί: κάθε αριθμός της μορφής $\frac{p}{q}$ με $q \neq 0$
• $\mathbb{R}$ — πραγματικοί: οι ρητοί μαζί με τους άρρητους ($\sqrt{2}$, $\pi$, $e$)

Η ιδιότητα της πληρότητας

Αυτό που ξεχωρίζει το $\mathbb{R}$ από το $\mathbb{Q}$ είναι η πληρότητα: κάθε μη κενό και άνω φραγμένο υποσύνολο του $\mathbb{R}$ έχει ελάχιστο άνω φράγμα (supremum).

Η ιδιότητα αυτή δεν είναι τεχνική λεπτομέρεια — είναι το θεμέλιο των θεωρημάτων σύγκλισης, συνέχειας και ολοκλήρωσης που ακολουθούν. Στο $\mathbb{Q}$ δεν ισχύει: το σύνολο

$$A = \{ x \in \mathbb{Q} : x^2 < 2 \}$$ είναι φραγμένο αλλά δεν έχει supremum μέσα στο $\mathbb{Q}$, αφού το $\sqrt{2}$ είναι άρρητος. Απόλυτη τιμή

$$|x| = \begin{cases} x, & x \geq 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}$$ Γεωμετρικά, το $|x - a|$ είναι η απόσταση του $x$ από το $a$. Αυτή η ερμηνεία κάνει την απόλυτη τιμή κεντρική στους ορισμούς ορίου και συνέχειας. Βασικές ιδιότητες

• $|xy| = |x| \cdot |y|$
• $|x + y| \leq |x| + |y|$ — τριγωνική ανισότητα
• $|x| \leq a \iff -a \leq x \leq a$ (για $a > 0$)

Διαστήματα και περιοχές

Η περιοχή του $x_0$ ακτίνας $\delta$ είναι το σύνολο

$$\{ x \in \mathbb{R} : |x - x_0| < \delta \} = (x_0 - \delta,\; x_0 + \delta)$$ Ο συμβολισμός αυτός επανεμφανίζεται σε κάθε ορισμό $\varepsilon$–$\delta$ του επόμενου κεφαλαίου, οπότε αξίζει να τον έχετε άνετο από τώρα.