Fundamental concepts

Άσκηση 1. Λύστε την ανίσωση $|2x - 3| < 5$. Λύση

Από την ιδιότητα $|t| < a \iff -a < t < a$: $$-5 < 2x - 3 < 5$$ Προσθέτουμε $3$ παντού: $$-2 < 2x < 8$$ Διαιρούμε με $2$: $$-1 < x < 4$$ Απάντηση: $x \in (-1, 4)$

Άσκηση 2. Λύστε την $|x - 1| \geq 3$.

Λύση

Η ανισότητα είναι αντίστροφης φοράς, άρα σπάει σε δύο περιπτώσεις:

$$x - 1 \geq 3 \implies x \geq 4$$

ή

$$x - 1 \leq -3 \implies x \leq -2$$

Απάντηση: $x \in (-\infty, -2] \cup [4, +\infty)$

Προσοχή: συχνό λάθος είναι να γραφεί ως ένα διάστημα. Οι δύο περιπτώσεις είναι ξένες μεταξύ τους.

Άσκηση 3. Αποδείξτε την τριγωνική ανισότητα $|x + y| \leq |x| + |y|$.

Λύση

Για κάθε πραγματικό $a$ ισχύει $-|a| \leq a \leq |a|$. Γράφουμε τις δύο σχέσεις:

$$-|x| \leq x \leq |x|$$
$$-|y| \leq y \leq |y|$$

Προσθέτουμε κατά μέλη:

$$-(|x| + |y|) \leq x + y \leq |x| + |y|$$

Από την ιδιότητα $|t| \leq a \iff -a \leq t \leq a$ προκύπτει

$$|x + y| \leq |x| + |y| \qquad \blacksquare$$